求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．

Question

求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+e^x的一个特解．

Answer 1

微分方程y″-2y′-3y=3x+1+e^x的特征方程为：λ²-2λ-3=0，
求解可得其特征值为：λ₁=-1，λ₂=3．
对于微分方程y″-2y′-3y=3x+1，①
由于0不是方程的特征根，
故其特解形式为：y₁=Ax+B．
代入①可得，
-3Ax-（2A+3B）=3x+1．
故由

−3A＝3

−(2A+3B)＝1

可得，A=-1，B=(1)/(3)，
故y1＝−x+(1)/(3)．
对于微分方程y″-2y′-3y=e^x，②
由于1是方程的单重特征根，
故其特解形式为：y₁=Ce^x．
代入②可得，
-4Ce^x=e^x．
故C=−(1)/(4)ex，
因此，y2＝−(1)/(4)ex．
由线性微分方程解的性质可得，
y=y₁+y₂ =−x+(1)/(3)−(1)/(4)ex即为所求微分方程的一个特解．