用变量代换x=cost（0＜t＜π）化简微分方程（1-x2）y″-xy′+y=0，并求其满足y|x=0=1，y′|x=0=2的特解．

Question

用变量代换x=cost（0＜t＜π）化简微分方程（1-x²）y″-xy′+y=0，并求其满足y|_x=0=1，y′|_x=0=2的特解．

Answer 1

y′＝(dy)/(dt)(dt)/(dx)＝−(1)/(sint)(dy)/(dt)
∴y″＝(dy′)/(dt)(dt)/(dx)＝[(cost)/(sin2t)(dy)/(dt)−(1)/(sint)(d2y)/(dt2)](−(1)/(sint))
代入原方程，得 (d2y)/(dt2)+y＝0
解得：y＝C1cost+C2sint＝C1x+C2√(1−x2)
∵y|_x=0=1，y'|_x=0=2
∴C₁=2
∴C₂=1
∴y＝2x+√(1−x2)