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用变量代换x=cost(0<t<π)化简微分方程(1-x2)y″-xy′+y=0,并求其满足y|x=0=1,y′|x=0=2的特解.
题目详情
用变量代换x=cost(0<t<π)化简微分方程(1-x2)y″-xy′+y=0,并求其满足y|x=0=1,y′|x=0=2的特解.
▼优质解答
答案和解析
y′=
=−
∴y″=
=[
−
](−
)
代入原方程,得
+y=0
解得:y=C1cost+C2sint=C1x+C2
∵y|x=0=1,y'|x=0=2
∴C1=2
∴C2=1
∴y=2x+
dy |
dt |
dt |
dx |
1 |
sint |
dy |
dt |
∴y″=
dy′ |
dt |
dt |
dx |
cost |
sin2t |
dy |
dt |
1 |
sint |
d2y |
dt2 |
1 |
sint |
代入原方程,得
d2y |
dt2 |
解得:y=C1cost+C2sint=C1x+C2
1−x2 |
∵y|x=0=1,y'|x=0=2
∴C1=2
∴C2=1
∴y=2x+
1−x2 |
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