设y1，y2，y3是微分方程y″+py′+qy=f（x）的三个线性无关的解，c1，c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3（）A．是此方程的解，但不一定是它的通解B．不是此方程的解C．是此方程的特

Question

设y₁，y₂，y₃是微分方程y″+py′+qy=f（x）的三个线性无关的解，c₁，c₂为任意常数，则y=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃（　　）

A．是此方程的解，但不一定是它的通解
B．不是此方程的解
C．是此方程的特解
D．是此方程的通解

Answer 1

∵y₁，y₂，y₃是微分方程y″+py′+qy=f（x）的三个线性无关的解，
∴y₁-y₃和y₂-y₃是其对应齐次微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，
又∵y=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃=c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）+y₃，其中c₁，c₂两个独立的任意常数，
∴y=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃是微分方程y″+py′+qy=f（x）的通解，
故选：D．