如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y=x2+3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C2．C2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线C2的解析

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C ₁ ：y=x ² +3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C ₂ ．C ₂ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线C ₂ 的解析式；
（2）若抛物线C ₂ 的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C ₂ 交于点D，与抛物线C ₁ 交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；
（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C ₂ 上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵将抛物线C ₁ ：y=x ² +3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C ₂ ，
∴抛物线C ₁ 的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，-4）．
∴抛物线C ₂ 的顶点坐标为（1，-4）．
∴抛物线C ₂ 的解析式为y=（x-1） ² -4，
即y=x ² -2x-3；

（2）证明：由x ² -2x-3=0，
解得：x ₁ =-1，x ₂ =3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0），AB=4．
∵抛物线C ₂ 的对称轴为x=1，顶点坐标D为（1，-4），
∴CD=4．AC=CB=2．
将x=1代入y=x ² +3得y=4，
∴F（1，4），CE=CD．
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵ED⊥AB，
∴四边形ADBE是菱形．
S _菱形ADBE =2× (1)/(2) ×AB×CE=2× (1)/(2) ×4×4=16．

（3）存在．分OB为平行四边形的边和对角线两种情况：
①当OB为平行四边形的一边时，如图1，
设F（1，y），
∵OB=3，∴G ₁ （-2，y）或G ₂ （4，y）．
∵点G在y=x ² -2x-3上，
∴将x=-2代入，得y=5；将x=4代入，得y=5．
∴G ₁ （-2，5），G ₂ （4，5）．
②当OB为平行四边形的一对角线时，如图2，
设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H，
∵OB=3，OC=1，∴OM= (3)/(2) ，CM= (1)/(2) ．
∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM= (1)/(2) ．∴OH=2．
∴G ₃ （2，-y）．
∵点G在y=x ² -2x-3上，
∴将（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3．
∴G ₃ （2，-3）．
综上所述，在抛物线C ₂ 上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G ₁ （-2，5），G ₂ （4，5），G ₃ （2，-3）．