还想问一下设矩阵A=BC,A列满秩,则R(A)=R(C)为什么?

Question

还想问一下设矩阵A=BC,A列满秩,则 R(A)=R(C)为什么?

Answer 1

应该是B列满秩吧?
这个用方程组证明会简单些,可以推出Ax=0与Cx=0同解,从而R(A)=R(C).
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设A的列数是n.
首先,若Cx=0,则Ax=B(Cx)=0.
其次,若Ax=0,则B(Cx)=0,B列满秩,则By=0只有零解,所以Cx=0.
所以Ax=0与Cx=0同解,所以n-R(A)=n-R(C),R(A)=R(C)