3元非齐次线性方程Ax=b,秩r(A)=2,有3个解向量a1,a2,a3,a2-a3=(1,0,0)^T,a1+a2=(2,4,6)^T,则Ax=b的一般解形式为

Question

3元非齐次线性方程Ax=b,秩r(A)=2,有3个解向量a1,a2,a3,a2-a3=(1,0,0)^T,a1+a2=(2,4,6)^T,
则Ax=b的一般解形式为

Answer 1

3元非齐次线性方程组 Ax=b,秩 r(A)=2,则
导出组即对应的齐次方程组 Ax=0 有 3-2=1个基础解系,
Ax=b 有3个解向量 a1,a2,a3,则
Aa1=b,Aa2=b,Aa3=b,A(a2-a3)=0
则 a2-a3 = (1,0,0)^T 就是 Ax=0 的基础解系.
A(a1+a2)/2=b,则 (a1+a2)/2=(1,2,3)^T,就是 Ax=b 的特解.
则 Ax=b 的一般解是 x=(1,2,3)^T+k (1,0,0)^T,
其中k为任意常数.