若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是．

Question

若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，则a的值是___．

Answer 1

由x³-3x²+2x的导数y'=3x²-6x+2，
设曲线y=x³-3x²+2x上任意一点（x₀，x₀³-3x₀²+2x₀）处的切线方程为
y-x₀³+3x₀²-2x₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），
将（0，0）代入方程得x₀=0或x₀=(3)/(2)，
①当x₀=0时，切线方程为y=2x，
则联立y=2x和y=x²+a，得x²-2x+a=0，由△=4-4a=0，解得，a=1；
②当x₀=(3)/(2)时，切线方程为y=-(1)/(4)x，
则联立y=-(1)/(4)x和y=x²+a，得x²+(1)/(4)x+a=0，由△=(1)/(16)-4a=0，解得，a=(1)/(64)．
综上可得，a=1或(1)/(64)．
故答案为：1或(1)/(64)．