一次函数求最值问题经典例题

Question

一次函数求最值问题经典例题

Answer 1

一般地说,一次函数的图象为一条直线,似乎与最值“无缘”,然而,在实际问题中,由于自变量取值范围的限制,其函数图象局限于某一线段或射线,从而存在最值．下面举例说明．
例1 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次,公司要求电视台每周共播放7集．
（1）设一周内甲连续剧播x集,甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次,求y关于x的函数关系式．
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间,并且播放甲连续剧每集需50分钟,播放乙连续剧每集需35分钟,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大,并求出这个最大值．
（1）设甲连续剧一周内播x集,则乙连续剧播（7－x）集．
根据题意得y＝20x＋15（7－x）．
所以 y＝5x＋105．
（2）由题意得50x＋35（7－x）≤300．
解得 ．
又y＝5x＋105的函数值随着x的增大而增大,且 x为自然数．
所以当x＝3时,y有最大值3×5＋105＝120（万人次）．
答：电视台每周应播放甲连续剧3集,播放乙连续剧4集,才能使每周收视观众的人次总和最大,这个最大值是120万人次．
例2 某家庭装修厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖,装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装,大包装每包50块,价格为30元；小包装每包30块,价格为20元,若大、小包装均不拆开零售,那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
根据题意,可有三种购买方案；
方案一：只买大包装,则需买包数为 ；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300（元）．
方案二：只买小包装．则需买包数为：．
所以需买16包,所付费用为16×20＝320（元）．
方案三：既买大包装．又买小包装,并设买大包装x 包,小包装y包,所需费用为W元．则
．
50x+30y=480可变形为 ．
代入W=30x+20y得 ．
因为0