已知函数f（x）满足方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0及f′（x）+f（x）=2ex．（1）求表达式f（x）．（2）求曲线y＝f(x2)∫x0f(−t2)dt的拐点．

Question

已知函数f（x）满足方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0及f′（x）+f（x）=2e^x．
（1）求表达式f（x）．
（2）求曲线y＝f(x2)

∫

x 0

f(−t2)dt的拐点．

Answer 1

（1）∵f″（x）+f'（x）-2f（x）=0的特征方程为；r²+r-2=0，解得特征根为：r₁=-2，r₂=1
∴f″（x）+f'（x）-2f（x）=0的通解为：f(x)＝C1e−2x+C2ex，（C₁，C₂为两个常数）…①
又f'（x）+f（x）=2e^x，将①代入化简得：2C2ex−C1e−2x＝2ex
∴C₁=0，C₂=1
故：f（x）=e^x

（2）将f（x）=e^x代入得：
y＝

ex2∫

x 0

e−t2dt
∴y′＝1+2x

ex2∫

x 0

e−t2dt
y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫

x 0

e−t2dt
令y″=0，得：x=0，而y又不存在二阶不可导点
∴x=0是y''=0的唯一解
又∵当x＞0时，2x＞0，2(1+2x2)

ex2∫

x 0

e−t2dt＞0
∴y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫

x 0

e−t2dt＞0；
当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)

ex2∫

x 0

e−t2dt＜0
∴y″＝2x+2(1+2x2)

ex2∫

x 0

e−t2dt＜0
∴x=0时，f（x）对应的点是曲线的拐点
而x=0时，y=0
∴（0，0）是y的拐点．