常微分方程曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为C；试建立微分方程；提示：（过点（x,y)的切线的横截距和纵截距分别为x-y/y',y-x*y')答案y'=(y+x*tanC)/(x-y*tanC).

Question

常微分方程
曲线上任一点的切线与该点的径向夹角为C；
试建立微分方程；
提示：（过点（x,y)的切线的横截距和纵截距分别为x-y/y',y-x*y')
答案y'=(y+x*tan C)/(x-y*tan C).

Answer 1

不需要看这个提示
假设向量(x,y)与x轴正向夹角为A,tanA=y/x
切线与x轴正向夹角为B
tanB=y'
切线与该点的径向夹角为C；
所以B=C+A,或者B=A-C
1)y'=tanB=tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(y/x+tanC)/(1-y/x*tanC)
=(y+xtanC)/(x-ytanC)
2)y'=tanB=tan(A-C)=(tanA-tanC)/(1+tanAtanC)=(y/x-tanC)/(1+y/x*tanC)
=(y-xtanC)/(x+ytanC)