（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（π4）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（α4）=-25，α∈（π2，π），求sin（α+π3）的值．

Question

（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（(π)/(4)）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（(α)/(4)）=-(2)/(5)，α∈（(π)/(2)，π），求sin（α+(π)/(3)）的值．

Answer 1

（1）f（(π)/(4)）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=(π)/(2)．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+(π)/(2)）=cos2x•（-sin2x）=-(1)/(2)sin4x，
∴f（(α)/(4)）=-(1)/(2)sinα=-(2)/(5)，
∴sinα=(4)/(5)，
∵α∈（(π)/(2)，π），
∴cosα=√(1−(16)/(25))=-(3)/(5)，
∴sin（α+(π)/(3)）=sinαcos(π)/(3)+cosαsin(π)/(3)=(4−3√(3))/(10)．