一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂

Question

一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为p ₁ ，p ₂ ，p ₃ ，每人能否战胜擂主是相互独立的．
（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了x次比赛，求x得数学期望；
（3）假定p ₃ ＜p ₂ ＜p ₁ ＜1，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为B _i ，i=1，2，3，则P（B _i ）=p _i ，
三人攻擂均失败的概率为（1-p ₁ ）（1-p ₂ ）（1-p ₃ ）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1-p ₁ ）（1-p ₂ ）（1-p ₃ ）．…3分
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p ₁ ；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）=（1-p ₁ ） p ₂ ；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为P（X=3）=（1-p ₁ ）（1-p ₂ ），
E（X）=p ₁ +2（1-p ₁ ） p ₂ +3（1-p ₁ ）（1-p ₂ ）=3-2p ₁ -p ₂ +p ₁ p ₂ ．…6分
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小．…7分
下面证明以上结论．
设q ₁ ，q ₂ ，q ₃ 是p ₁ ，p ₂ ，p ₃ 的一个排列，如果按q ₁ ，q ₂ ，q ₃ 有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3-2q ₁ -q ₂ +q ₁ q ₂ ．
因为△=（3-2q ₁ -q ₂ +q ₁ q ₂ ）-（3-2p ₁ -p ₂ +p ₁ p ₂ ）=2（p ₁ -q ₁ ）+（p ₂ -q ₂ ）+q ₁ q ₂ -p ₁ p ₂ =2（p ₁ -q ₁ ）+（p ₂ -q ₂ ）-（p ₁ -q ₁ ）p ₂ -（p ₂ -q ₂ ）q ₁ =（2-p ₂ ） （p ₁ -q ₁ ）+（p ₂ -q ₂ ）（1-q ₁ ）≥（1-q ₁ ）（ p ₁ -q ₁ ）+（p ₂ -q ₂ ）（1-q ₁ ）=（1-q ₁ ）[（p ₁ +p ₂ ）-（q ₁ +q ₂ ）]≥0．
等号成立当且仅当q ₁ =p ₁ ，q ₂ =p ₂ ．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．…10分