已知凸四边形ABCD中，AC⊥BD，作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆．

Question

已知凸四边形ABCD中，AC⊥BD，作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆．

Answer 1

证明：∵点E关于CD、DA的对称点R、S，
∴(ER′)/(ER)=(ES′)/(ES)=(1)/(2)．
∵∠S′ER′=∠SER，
∴△ES′R′∽△ESR，
∴∠ES′R′=∠ESR．
∵点E关于CD、DA的对称点R、S，
∴∠AS′E=∠DR′E=90°，
∴S′、D、R′、E四点共圆，
∴∠ES′R′=∠EDR′，
∴∠ESR=∠EDR′．
同理可得：∠ESP=∠EAP′，∠EQR=∠ECR′，∠EQP=∠EBP′，
∵AC⊥BD，
∴∠DEC=∠AEB=90°，
∴∠PSR+∠PQR=∠ESR+∠ESP+∠EQR+∠EQP
=∠EDR′+∠EAP′+∠ECR′+∠EBP′
=∠EDR′+∠ECR′+∠EAP′+∠EBP′
=180°-∠DEC+180°-∠AEB
=360°-90°-90°=180°，
∴P、Q、R、S四点共圆．