给定凸四边形ABCD与形内一点O,且角AOB=角COD=120度,AO=OB,CO=OD,设K,L,M为线段AB,BC,CD的中点证明三角形KLM是等边三角形

Question

给定凸四边形ABCD与形内一点O,且角AOB=角COD=120度,AO=OB,CO=OD,设K,L,M为线段AB,BC,CD的中点
证明三角形KLM是等边三角形

Answer 1

证明：连接AC、BD、OK、OM
∵∠AOB=∠COD
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD
∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,CO=DO
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD
在△ABC中,∵K、L是AB、BC的中点,∴KL=1/2AC=1/2BD
同理LM=1/2BD
在△AOB中,AO=BO,K是AB的中点,∴OK⊥AB,∠BOK=1/2∠AOB=60°
∴在RT△AOK中,OK=cos60°BO=1/2BO
同理OL=1/2OD,∠COL=∠DOL=1/2∠COD=60°
∴OK=1/2BO,∠LOM=∠COL+∠COB+∠BOK=120°+∠BOC=∠BOD,OL=1/2OD
∴△KOM∽△BOD,所以KM=1/2BD
∴KM=LM=KL=1/2BD
∴△KLM是等边三角形