过半径为R的圆周上一点任意做这圆的玄,求这些玄的平均长度

Question

过半径为R的圆周上一点任意做这圆的玄,求这些玄的平均长度

Answer 1

平均弦长为4R/π
过点的弦数显然是无穷的,先取有限个弦长的平均弦长,然后对弦长数求极限即可求无限弦数的平均弦长
由于圆的对称性不妨考虑半圆的情形,且过任意点的平均弦长是相等的.
考查过点P的弦长,设弦与过P的直径所形成的夹角设为θ,
则弦长=2Rcosθ
考虑较理想的情形,将过P点的圆切线与过P的直径所形成的直角n+1等分,则每个角所对应的弦长为Lk=2Rcos(kθ)(θ=π/(2(n+1)))(k=0,1,..n)
则这些弦的平均弦长=2RΣcos(kθ)/(n+1),(k=0,1,..n)
问题即转化为求2RΣcos(kθ)/(n+1）（n→+∞）极限的问题
针对Σcos(kθ)的计算,可以做以下变换化简,
Σcos(kθ)=Σsinθcos(kθ)/sinθ=Σ(sin(k+1)θ-sinkθ)/2sinθ,
最后利用化简的式子,不难求的极限为4R/π,即所要结果.
此题的关键有3个地方,
1）有限到无限的思想转变,
2）选取恰当的模型求得平均弦长的表达式,
3）Σcos(kθ）的化简计算.