某椭圆中心在原点,一个焦点为（0,5根号下2）,且被直线Y=3X-2截得的玄中点横坐标为二分之一,求椭圆方程.

Question

某椭圆中心在原点,一个焦点为（0,5根号下2）,且被直线Y=3X-2截得的玄中点横坐标为二分之一,求椭圆方程.

Answer 1

因为焦点在y轴上,所以设椭圆方程为：
(x²/b²)+(y²/a²)=1 ,①
联立直线方程 y = 3x-2 ,②
把②代入①得：
(1/b² + 9/a²)x² - (12/a²)x + (4/a²) - 1 = 0
所以 x1+x2 = (12/a²)÷(1/b² + 9/a²) = 12b²/(a² + 9b²)
因为中点横坐标为 1/2 ,所以中点的 横坐标 为 (x1+ x2)/2 .
所以 x1 + x2 = 1,
即12b²/(a² + 9b²) = 1
解得 a² = 3 b²
由焦点知道 ：c = 5(根号2) ,
所以 a² = b² + c² = b² + 50 = 3 b²
所以 2b² = 50 ,b² =25,
所以 a² = 75.
所以椭圆的方程为：(x²/25)+(y²/75)=1