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(2014•湖北二模)如图,在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.在t=0时刻,一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子,所有粒子的初速度
题目详情
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(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷;
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.
▼优质解答
答案和解析
(1)初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示,其圆心为C.由几何关系可知,∠POC=30°;△OCP为等腰三角形
故∠OCP=
①
此粒子飞出磁场所用的时间为
t0=
②
式中T为粒子做圆周运动的周期.
设粒子运动速度的大小为v,半径为R,由几何关系可得
R=
a ③
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m
④
T=
⑤
联立②③④⑤解得
=
⑥![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/17/1537180051-9425.jpg)
(2)仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°,这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出;角度最大时从磁场左边界穿出.依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同.在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧
上.如图所示.
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN.由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为
.
设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN,由几何关系有θM=
⑦θN=
⑧
对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
≤θ≤
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图2所示.由几何关系可知:
OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知,圆的圆心角为240°,从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t0;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/17/1537180051-8950.jpg)
故∠OCP=
2π |
3 |
此粒子飞出磁场所用的时间为
t0=
T |
3 |
式中T为粒子做圆周运动的周期.
设粒子运动速度的大小为v,半径为R,由几何关系可得
R=
2
| ||
3 |
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m
v2 |
R |
T=
2πR |
v |
联立②③④⑤解得
q |
m |
2π |
3Bt0 |
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/17/1537180051-9425.jpg)
(2)仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°,这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出;角度最大时从磁场左边界穿出.依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同.在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧
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MN |
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN.由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为
π |
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设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN,由几何关系有θM=
π |
3 |
2π |
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对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
π |
3 |
2π |
3 |
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图2所示.由几何关系可知:
OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知,圆的圆心角为240°,从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t0;
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