如图所示，建筑工地常用的一种“深穴打夯机”工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提到地面，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，

Question

如图所示，建筑工地常用的一种“深穴打夯机”工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提到地面，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底，然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯再次被提到地面，如此周而复始．已知两个滚轮的半径R=0.2m，转动的角速度ω=20rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力FN＝2×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯的总质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中每次坑的深度变化不大，当夯的底端升到坑口时，滚轮将夯杆释放，不计空气阻力，取g=10m/s²，求：

（1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h₁；
（2）夯的运动周期T；
（3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W．

Answer 1

（1）滚轮线速度v=ωR=4.0m/s…①
夯加速上升过程中，(2μFN−mg)h1＝(1)/(2)mv2…②
得，h1＝(mv2)/(2(2μFN−mg))＝4.0m…③
（2）设夯加速时间为t₁，则由动量定理得
   （2μF_N-mg）t₁=mv…④
得t1＝(mv)/(2μFN−mg)＝2.0s…⑤
夯匀速上升时间t2， t2＝(h−h1)/(v)＝0.6s…⑥
夯离开坑口上升到最大高度时间t3＝(v)/(g)＝0.4s…⑦
夯离开坑口上升的最大高度h2＝(v2)/(2g)＝0.8m…⑧
夯从最高点自由下落到坑底时间t4＝√((2(h+h2))/(g))＝1.2s…⑨
夯的运动周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=4.2s…⑩
（3）夯加速上升过程中，夯杆与滚轮摩擦产生的热量Q＝2μFN(v−(v)/(2))t1＝4.8×104J…（11）
夯从坑底提升到地面，夯的机械能增加量△E＝(1)/(2)mv2+mgh＝7.2×104J…（12）
每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=Q+△E=1.2×10⁵J…（13）
答：
（1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h₁=4m．
（2）夯的运动周期T=4.2s；
（3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=1.2×10⁵J．