建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”如图所示，电动机带动两个滚轮始终匀速转动．当夯杆在深穴底时，两个滚轮紧压夯杆，依靠摩擦力将夯杆提上来，在夯杆下端达到深穴口前，两个滚

Question

建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”如图所示，电动机带动两个滚轮始终匀速转动．当夯杆在深穴底时，两个滚轮紧压夯杆，依靠摩擦力将夯杆提上来，在夯杆下端达到深穴口前，两个滚轮彼此分开，使夯杆下端与地面相平时，速度正好为零；然后，夯杆在自身重力的作用下落回深坑，夯实坑底；两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此循环运动．已知两个滚轮边缘的速度相同为v=3m/s，每个滚轮对夯杆的正压力N=3.25×10⁴ N，滚轮和夯杆间的动摩擦因数μ=0.4，夯杆的质量m=2×10³kg，坑深h=13.95m．假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，可以视为不变．取g=10m/s²．求：

（1）夯杆加速上升过程中加速度的大小；
（2）两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离；
（3）一个完整的上升下降过程，夯杆的运动时间．

Answer 1

（1）夯杆在上升过程中，对夯杆进行受力分析知，夯杆所受摩擦力为：
    f₁=2μN=2×0.4×3.25×10⁴ N=2.6×10⁴N；
夯杆产生加速度为：a₁=(f1-mg)/(m)=(f1)/(m)-g=(2.6×104)/(2×103)-10=3m/s²
（2）当夯杆与滚轮相对静止时，有 v=a₁t₁=3m/s，得：t₁=1s
匀加速过程夯杆上升的高度 h₁=(1)/(2)a₁t₁²=(1)/(2)×3×12=1.5m
当夯杆以v=3m/s的初速度竖直上抛后，继续上升的高度为：h₂=(v2)/(2g)=(32)/(20)=0.45m
所以当夯杆加速向上运动速度到达v=3m/s后，夯杆匀速上升，匀速上升高度为：h₃=h-h₁-h₂=13.95m-1.5m-0.45m=12m
因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，再竖直上抛．故两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离为：△h=13.95m-0.45m=13.5m．
（3）夯杆竖直上抛运动的时间为：t₂=(v)/(g)=(3)/(10)=0.3s；
夯杆匀速上升的时间为：t₃=(h3)/(v)=(12)/(3)=4s；
由h=(1)/(2)gt₄²可得夯杆从最高点开始自由下落的时间为：t₄=√((2h)/(g))=√((2×13.95)/(10))≈1.67s
故打夯周期为：T=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.3+4+1.67=6.97s
答：（1）夯杆加速上升过程中加速度的大小是3m/s²；
（2）两个滚轮彼此分开时，夯杆下端到坑底的距离是13.5m；
（3）一个完整的上升下降过程，夯杆的运动时间是6.97s．