已知函数（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若定义在区间D上的函数对于区间上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间上的“凹函数”．试证当时

Question

已知函数
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若定义在区间D上的函数 对于区间 上的任意两个值 总有以下不等式 成立，则称函数 为区间 上的 “凹函数”．试证当 时， 为“凹函数”．

Answer 1

已知函数
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若定义在区间D上的函数 对于区间 上的任意两个值 总有以下不等式 成立，则称函数 为区间 上的 “凹函数”．试证当 时， 为“凹函数”．

（1） （2）理解凹函数的定义 ，然后结合中点函数值与任意两点的函数值和的关系式作差法加以证明。

试题分析：解(1)由 ,得
函数为 上单调函数. 若函数为 上单调增函数,则 在 上恒成立,即不等式 在 上恒成立. 也即 在 上恒成立.
令 ,上述问题等价于 ,而 为在 上的减函数,则 ,于是 为所求.
(2)证明:由 得

 

而  ①
又 , ∴  ②
∵   ∴ ,
∵  ∴  ③ 
由①、②、③得
即 ,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数
点评：结合均值不等式的思想，以及函数的解析式来求解，属于中档题。