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大楼共有n层,现每层指派一人,共n个人集中到第k层开会试问如何确定k,能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小?(假设相邻两层楼梯长都一样)
题目详情
大楼共有n层,现每层指派一人,共n个人集中到第k层开会 试问如何确定k,能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小?(假设相邻两层楼梯长都一样)
▼优质解答
答案和解析
设相邻两层楼梯长为a,则问题转化为下列和式S的最小值的探求:
S=S(k)=a[1+2+3+⋅⋅⋅+(k-1)]+a[1+2+⋅⋅⋅+(n-k )]
=a[k2-(n+1)k+
(n2+n)]
目标函数S(k)为k的二次函数,且a>0,
故当n为奇数时,取k=
,S最小;当n为偶数时,取k=
或
,S最小.
S=S(k)=a[1+2+3+⋅⋅⋅+(k-1)]+a[1+2+⋅⋅⋅+(n-k )]
=a[k2-(n+1)k+
1 |
2 |
目标函数S(k)为k的二次函数,且a>0,
故当n为奇数时,取k=
n+1 |
2 |
n |
2 |
n+2 |
2 |
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