计算∭Ωxydxdydz，其中Ω是由柱面x2+y2=1及平面z=1，x=0，y=0所围成且在第一卦限内的区域．

Question

计算

∭

Ω

xydxdydz，其中Ω是由柱面x²+y²=1及平面z=1，x=0，y=0所围成且在第一卦限内的区域．

Answer 1

如图，选取柱面坐标系计算方便，此时，Ω：

0≤z≤1

0≤θ≤(π)/(2)

0≤r≤1

所以

∫∫∫

Ω

xydxdydz＝

∫

1 0

dz

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

1 0

r2sinθcosθrdr
=

∫

(π)/(2) 0

(1)/(2)sin2θdθ

∫

1 0

r3dr=(−(cos2θ)/(4))

|

(π)/(2) 0

•(r4)/(4)

|

1 0

＝(1)/(8)．