如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观

Question

如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．

（1）求线段MN的长度；

（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．

Answer 1

【分析】（1）在△AMN中，利用余弦定理得到MN；

（2）设∠PMN=α，得到∠PNM=120°﹣α，利用正弦定理将PM+PN用α表示，结合三角函数的有界性求最值．

【解答】（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN²=AM²+AN²﹣2AM•ANcos120°…

=，

所以千米．                              …

（2）设∠PMN=α，因为∠MPN=60°，所以∠PNM=120°﹣α

在△PMN中，由正弦定理得，．…

因为=，

所以PM=4sin，PN=4sinα…

因此PM+PN=4sin+4sinα…

=

==…

因为0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°．

所以当α+30⁰=90⁰，即α=60⁰时，PM+PN取到最大值．…

答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．…