如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r米、质量为m千克的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ千克/米3，高度为H米，大气压强为p0帕，已知球体的体积公式是V=4πr3

Question

如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r米、质量为m千克的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ千克/米³，高度为H米，大气压强为p₀帕，已知球体的体积公式是V=(4πr3)/(3)，球面积公式是S_球=4πr²，圆面积公式是S_圆=πr²．若要把半球从水中拉起，则至少要用多少牛的竖直向上的拉力？

Answer 1

（1）假设半球下表面处全部为液体，
则半球受到的浮力F_浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×(1)/(2)×(4)/(3)πr³=(2)/(3)ρgπr³；
半球表面各处所受液体压力的分布如图所示，
半球上表面受到的液体压力F_上竖直向下，
∵P=(F)/(S)，∴F=PS，半球下表面受到的液体压力：
F_下=P_下S_圆=P_液S_圆=ρgH×πr²，方向竖直向上，
半球受到的浮力F_浮等于半球下表面与上表面所受液体对它的压力合力，
即：F_浮=F_下-F_上，F_上=F_下-F_浮=πr²ρgH-(2)/(3)ρgπr³，
在本题给出的条件中，半球底部与容器底部紧密接触，即半球的下表面处并不与液体接触，
但这并不改变半球上表面受液体压力作用的情况，则液体对半球的压力仍为F_上=πr²ρgH-(2)/(3)ρgπr³；
（2）半球刚要被拉起时，容器底板对半球的下表面已无向上的支持力，
则竖直向上的拉力F_拉至少要等于上述的F_上与半球本身的重力之和，
即：F_拉=F_上+mg=πr²ρgH-(2)/(3)ρgπr³+mg+p₀πr²．
答：若要把半球从水中拉起，则至少要用πr²ρgH-(2)/(3)ρgπr³+mg+p₀πr²牛的竖直向上的拉力．