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如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数y=kx(k>0),它的图象的伴侣

题目详情
如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

(2)若某函数是反比例函数y=
k
x
(k>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;

(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标______,写出符合题意的其中一条抛物线解析式
y=
1
8
x2+
23
8
y=
1
8
x2+
23
8
,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?______.(本小题只需直接写出答案)
▼优质解答
答案和解析
(1)∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时,
∴AO=1,BO=1,
∴正方形ABCD的边长为
2
(1分)
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,
设正方形ABCD的边长为a,得3a=
2

a=
1
3
2
(1分)
所以正方形边长为
1
3
2
;(1分)

(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴,

知△ADE≌△BAO≌△CBF(1分)
此时,m<2,DE=OA=BF=m
OB=CF=AE=2-m
∴OF=BF+OB=2
∴C点坐标为(2-m,2)(1分)
∴2m=2(2-m)
解得m=1(1分)
反比例函数的解析式为y=
2
x
;(1分)

(3)根据题意画出图形,如图所示:
过C作CF⊥x轴,垂足为F,过D作DE⊥CF,垂足为E,
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC,
∵C(3,4),即CF=4,OF=3,
∴EG=3,DE=4,故DG=DE-GE=DE-OF=4-3=1,
则D坐标为(-1,3);设过D与C的抛物线的解析式为:y=ax2+b,
把D和C的坐标代入得:
a+b=3
9a+b=4

解得
a=
1
8
b=
23
8

∴满足题意的抛物线的解析式为y=
1
8
x2+
23
8

同理可得D的坐标可以为:(7,-3);(-4,7);(4,1),(3分)
对应的抛物线分别为y=−
7
40
x2+
223
40
y=
3
7
x2+
1
7
y=−
3
7
x2+
55
7
,(1分)
所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.(1分)