已知F（X）是连续函数f（x)的一个原函数,且F（X）=（1+x平方）f（x）,则f（x)?

Question

已知F（X）是连续函数f（x)的一个原函数 , 且F（X）=（1+x平方）f（x） , 则f（x)?

Answer 1

∵F（X）=（1+x²）f（x）
∴F '(x)=2x f(x)+(1+x²) f '(x) =f(x), (1+x²)f '(x)=(1-2x )f(x) ,
∴f '(x)/f(x)=(1-2x)/( 1+x²) ,
∵(lnf(x))' =f '(x)/f(x) ,2x/( 1+x²) =(ln( 1+x²) )', 1/(1+x²) =(arctanx )';
∴(lnf(x))' =(arctanx)'- ((ln( 1+x²) )' ;
lnf(x) =-ln( 1+x²) +arctanx +c =ln(e^c×e^arctanx/( 1+x²)) (c 任意常数)
∴f(x) =Ce^arctanx/( 1+x²) (C 任意常数)