已知等边三角形CBA在一个平面上的射影三角形C1B1A1的三边长为2,3,2根号3,求此等边三角形的边长

Question

已知等边三角形CBA在一个平面上的射影三角形C1B1A1的三边长为2,3,2根号3,求此等边三角形的边长

Answer 1

设等边△ABC的边长为x,A与A1重合,BB1=b,CC1=c,
1)B,C在平面A1B1C1的同侧,
b^2+4=c^2+9=(b-c)^2+12=x^2,
∴b^2=c^2+5,①c^2+5-2bc+3=0,b=(c^2+8)/(2c),
代入①,(c^2+8)^2=4c^2(c^2+5),
整理得3c^4+4c^2-64=0,c>0,
∴c^2=4,
∴x=√13.
2)B,C在平面A1B1C1的异侧,
(b+c)^2+4=b^2+9=c^2+12=x^2,
∴2bc+c^2=5,b=(5-c^2)/(2c),代入b^2=c^2+3,得
(5-c^2)^2=4c^2(c^2+3),
整理得3c^4+22c^2-25=0,c>0,
∴c^2=1,
∴x=√13.
总之,AB=√13.