设函数f(x)=(x^2+ax+a)e^-x,其中x属于R,a是常数.确定a的值1）确定a的值,使f（x)的极小值为0（2）证明；当且仅当a=5时,f（x)的极大值为5（3）讨论关于x的方程飞f(x)+f(x)的导数=2xe^(-x）+1/x(x不为0）的

Question

设函数f(x)=(x^2+ax+a)e^-x,其中x属于R,a是常数.确定a的值
1）确定a的值,使f（x)的极小值为0
（2）证明；当且仅当a=5时,f（x)的极大值为5
（3）讨论关于x的方程飞f(x)+f(x)的导数=2xe^(-x）+1/x(x不为0）的实数根的个数

Answer 1

（1）：先对f（x）求导：F（x）=[-x^2+（2-a）x]e^(-x),因为e^(-x)是减函数,所以当g(x)=[-x^2+(2-a)x]达到极大值时,原函数达到极小值,令F（x）=0,则g(x)=0,x=0或x=(2-a）时达到极小值,当x=0时,要使f（x）=0,则a=0:；当x=（2-a）时,f（x）=（a-4）e^[-(2-a)],所以a=4.
（2）：证：由（1）知,当x=0或x=2-a时原函数达到极大值,显然,当x=2-a时不满足题意,故x=0,此时f（x）=a,要使极大值为5,则a=5,满足题意,证毕!
（3）：方程为：（x^2+ax+a）e^(-x)+[-x^2+(2-a)x]e^(-x)=2xe^(-x)+1/x,整理得：ae^(-x)=1/x,化简得：xe^(-x)=1/a,设K(x)=xe^(-x),则求导后为(1-x)e^(-x),令导函数为0,则x=1,当x1时,导函数小于0,原函数递减,故当x=1时原函数达到最大值为1/e,故,当1/a>1/e时,即a