细绳下吊着一个质量为M的沙袋，构成一个单摆，摆长为L．一颗质量为m的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是θ．求：（1）子弹留在沙袋中

Question

细绳下吊着一个质量为M的沙袋，构成一个单摆，摆长为L．一颗质量为m的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是θ．求：
（1）子弹留在沙袋中，开始随沙袋一起摆动时的速度V_共．
（2）子弹射入沙袋前的速度V₀．
（3）子弹射入沙袋的过程中，系统产生的热量Q．
（4）子弹留在沙袋中，开始随沙袋一起摆动时绳子的拉力F．

Answer 1

（1）子弹射入沙袋后，与沙袋一起从最低位置摆至最高位置的过程中，机械能守恒．由机械能守恒定律可得：
(1)/(2)（m+M）v_共²=（m+M）gL（1-cosθ），
解得：v_共=√(2gL(1−csθ))；
（2）子弹射入沙袋过程系统动量守恒，以 子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v_共，
解得：v₀=((m+M)√(2gL(1−cosθ)))/(m)；
（3）子弹击中沙袋过程，由能量守恒定律得：
(1)/(2)mv₀²=(1)/(2)（m+M）v_共²+Q，
解得：Q=(M(m+M)gL(1−cosθ))/(m)；
（4）沙袋做圆周运动，由牛顿第二定律得：
0F-（M+m）g=（M+m）(v2共)/(L)，
解得：F=（M+m）g（3-2cosθ）；
答：（1）子弹留在沙袋中，开始随沙袋一起摆动时的速度为√(2gL(1−csθ))；
（2）子弹射入沙袋前的速度为v₀=((m+M)√(2gL(1−cosθ)))/(m)；
（3）子弹射入沙袋的过程中，系统产生的热量为(M(m+M)gL(1−cosθ))/(m)；
（4）子弹留在沙袋中，开始随沙袋一起摆动时绳子的拉力为（M+m）g（3-2cosθ）．