如图所示，一个底部非常薄的圆柱形杯子，装满密度为ρ1的液体，恰好浮在密度分别为ρ1和ρ2的两种不相容液体的分界面间，下方液体密度ρ2，且ρ2＞ρ1．已知杯子的外径为2R，内径为2r，杯

Question

如图所示，一个底部非常薄的圆柱形杯子，装满密度为ρ₁的液体，恰好浮在密度分别为ρ₁和ρ₂的两种不相容液体的分界面间，下方液体密度ρ₂，且ρ₂＞ρ₁．
已知杯子的外径为2R，内径为2r，杯子浸入下方液体的深度为h．若杯底出现一个小洞，密度为ρ₂的液体将经小洞流入杯里，求当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ₂的液体的深度．

Answer 1

设杯子的质量为m，杯子的高度为L，杯内液体的质量为m₁，浮力为F_浮，则mg+m₁g=F_浮；
杯子浮在两种液体的分界面上，杯子在上面液体部分的体积（含杯壁）为V₁，杯子在下面液体部分的体积（含杯壁）为V₂，那么杯子受到的浮力：F_浮=ρ₁gV₁+ρ₂gV₂=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h，根据平衡条件可得：
mg+ρ₁gπr²L=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h；--------------①
当杯底出现一个小洞，密度为ρ₂的液体将经小洞流入杯里，将上面的液体排出去，这个过程一直进行到当杯内两种液体的分界面与杯外两种液体的分界面相平，此时杯子也处于平衡状态，所以可以列出与上面类似的等式：
mg+ρ₁gπr²（L-H）+ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²（L-H）+ρ₂gπR²H；------------②
①-②得：
ρ₁gπr²L-ρ₁gπr²（L-H）-ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²（L-H）-ρ₂gπR²H，
ρ₁gπr²L-ρ₁gπr²L+ρ₁gπr²H-ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²L-ρ₁gπR²h+ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²L+ρ₁gπR²H-ρ₂gπR²H，
ρ₁gπr²H-ρ₂gπr²H=ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²h+ρ₁gπR²H-ρ₂gπR²H，
ρ₁r²H-ρ₂r²H=ρ₂R²h-ρ₁R²h+ρ₁R²H-ρ₂R²H，
ρ₁r²H-ρ₂r²H-ρ₁R²H+ρ₂R²H=ρ₂R²h-ρ₁R²h，
解得：H=(R2)/(R2−r2)h．
答：当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ₂的液体的深度为(R2)/(R2−r2)h．