求In=∫1/(x^2+a^2)^ndx,其中n为正整数(In为数列I的第n项).

Question

求I n=∫1 /(x ^2+a^2)^n dx,其中n为正整数(I n为数列I的第n项).

Answer 1

L(n) = ∫ 1/(x^2 + a^2)^n dx,递推公式
= x/(x^2 + a^2)^n - ∫ x d[1/(x^2 + a^2)^n],分部积分法
= x/(x^2 + a^2)^n - ∫ x · - 2nx/(x^2 + a^2)^(n + 1) dx
= x/(x^2 + a^2)^n + 2n∫ [(x^2 + a^2) - a^2]/(x^2 + a^2)^(n + 1) dx
= x/(x^2 + a^2)^n + 2n∫ 1/(x^2 + a^2)^n - 2na^2 · ∫ 1/(x^2 + a^2)^(n + 1) dx
= x/(x^2 + a^2)^n + 2nL(n) - 2na^2 · L(n + 1)
(1 - 2n) · L(n) = x/(x^2 + a^2)^n - 2na^2 · L(n + 1)
L(n) = x/[(1 - 2n)(x^2 + a^2)^n] - (2na^2)/(1 - 2n) · L(n + 1)