一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球作圆周运动，用撮像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的运行周期为T（小于24h）．试求撮像机所能桕撮的总面积与地球表面积之比．（

Question

一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球作圆周运动，用撮像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的运行周期为T（小于24h）．
试求撮像机所能桕撮的总面积与地球表面积之比．（万有引力恒量为G，球体积公式V＝(4)/(3)πr3，r为球半径；球冠面积公式为s=2πrh，r为球半径，h为球冠高）

Answer 1

如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分球冠是不能拍到的区域，其总面积为：Sˊ=2×2πrh    
而h=r（1-cosα）    
cosα=(√(R2−r2))/(R)   
根据牛顿第二定律得，卫星绕地球运动有：
(GMm)/(R2)＝mR((2π)/(T))2
而M=ρ×(4)/(3)πr3
地球表面积S=4πr²
解得摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比为：(S−S′)/(S)=√(1−((3π)/(ρGT2))(2)/(3))
答：能拍摄的总面积与地球表面积之比为√(1−((3π)/(ρGT2))(2)/(3))