怎样解以下线性同余方程题(尽可能详细的讲解,因为本人数学学的不多,最好能给每一个步骤做详细的解释）1）51X≡85（221）2)143X≡572（77）急!

Question

怎样解以下线性同余方程题
(尽可能详细的讲解,因为本人数学学的不多,最好能给每一个步骤做详细的解释）
1）51X≡85（221）
2)143X≡572（77）
急!

Answer 1

1）∵(221,51)=17 ((221,51)表示221与51的最大公约数,以下类同)
且17│85 (17│85表示17整除85,以下类同)
∴同余式51x≡85（mod221）有解
∵51x≡85（mod221）==>17*3x≡17*5（mod13*17）
==>3x≡5（mod13）
==>4*3x≡4*5（mod13）
==>(13-1)x≡2*13-6（mod13）
==>-x≡-6（mod13）
==>x≡6（mod13）
∴同余式51x≡85（mod221）的所有解是
x≡6,19,32,45,58,71,84,97,110,123,136,149,162,175,188,201,214（mod221）;
2）∵(143,77)=11,且11│572
∴同余式143x≡572（mod77）有解
∵143x≡572（mod77）==>11*13x≡11*52（mod11*7）
==>13x≡52（mod7)
==>(7*2-1)x≡7*8-4（mod7)
==>-x≡-4（mod7)
==>x≡4（mod7)
∴同余式143x≡572（mod77）的所有解是
x≡4,11,18,25,32,39,46,53,60,67,74 (mod77).