用一块长为a,宽为b的矩形木板,在二面角为o的墙角外围,怎样围才能使储物仓的容积最大用一块长为a,宽为b的矩形木板,在二面角为o的墙角外围出了一个直三菱柱形的储仓(使木板垂直于地面的

Question

用一块长为a,宽为b的矩形木板,在二面角为o的墙角外围,怎样围才能使储物仓的容积最大
用一块长为a,宽为b的矩形木板,在二面角为o的墙角外围出了一个直三菱柱形的储仓(使木板垂直于地面的两边与墙贴紧,另一边与地面贴紧),试问应怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值.

Answer 1

二面角为w
当以长为a的边贴紧地面时,设木板与墙面的夹角为t
则 底面的三角形 由正弦定理得
墙面的两条边长分别为
s1=asint/sinw
s2=asin(π-w-t)/sinw
面积为
1/2*s1s2*sinw=1/2*a^2*sint*sin(π-w-t)/sinw
体积为 1/2*a^2*b*sint*sin(π-w-t)/sinw
可见 当 2t=π-w 时,体积最大,为
1/2*a^2*b*sin^2((π-w)/2)/sinw = 1/2*a^2*b*cos^2(w/2)/sinw =1/2*a^2*b/(2tan(w/2))
同理,若以宽为b的边贴紧地面,则体积最大为 1/2*a*b^2/(2tan(w/2))
可见,以最长的边贴紧地面,且使其与墙面夹角为 (π-w)/2 时,能取最大体积
为 1/2*a^2*b/(2tan(w/2))
其中a为木板的长