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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,AC的中点,求证:MN⊥C1D
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,AC的中点,求证:MN⊥C1D
▼优质解答
答案和解析
证明：由题意可知BC⊥平面CDD1C1且C1D ⊂平面CDD1C1
则BC⊥C1D
而在正方形CDD1C1中,有CD1⊥C1D
因为BC ⊂平面A1BCD1,CD1 ⊂平面A1BCD1,BC ∩ CD1＝C
所以由线面垂直的判定定理可得：
C1D⊥平面A1BCD1
因为A1C ⊂平面A1BCD1,所以C1D⊥A1C
又在三角形AA1C中,M,N分别是AA1,AC的中点
则有MN//A1C
所以MN⊥C1D
则BC⊥C1D
而在正方形CDD1C1中,有CD1⊥C1D
因为BC ⊂平面A1BCD1,CD1 ⊂平面A1BCD1,BC ∩ CD1＝C
所以由线面垂直的判定定理可得：
C1D⊥平面A1BCD1
因为A1C ⊂平面A1BCD1,所以C1D⊥A1C
又在三角形AA1C中,M,N分别是AA1,AC的中点
则有MN//A1C
所以MN⊥C1D
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