在四菱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．（I）求证：PA⊥AB；（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．

Question

在四菱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求证：PA⊥AB；
（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

（I）证明：取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，
∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．
∵PA⊂平面PAE，∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB；
（II） 由题意，AD=PE=√(2)．
设A到平面PCD的距离为h，则由等体积可得(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(2)h=(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(2)×1，
∴h=(√(2))/(2)
∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为((√(2))/(2))/(√(2))=(1)/(2)，大小为30°．