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如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证:四边形CFHE是菱形.
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如图.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.连接FH,求证:四边形CFHE是菱形.
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▼优质解答
答案和解析
证明:∵∠ACB=90°,AE平分∠BAC,EH⊥AB,
∴CE=EH,
在Rt△ACE和Rt△AHE中,AE=AE,CE=EH,由勾股定理得:AC=AH,
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAF=∠HAF,
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF(SAS),
∴∠ACD=∠AHF,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B=∠AHF,
∴FH∥CE,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形,
∵CE=EH,
∴四边形CFHE是菱形.
∴CE=EH,
在Rt△ACE和Rt△AHE中,AE=AE,CE=EH,由勾股定理得:AC=AH,
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAF=∠HAF,
在△CAF和△HAF中
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∴△CAF≌△HAF(SAS),
∴∠ACD=∠AHF,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B=∠AHF,
∴FH∥CE,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形,
∵CE=EH,
∴四边形CFHE是菱形.
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