早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.(1)求双曲线C2的方程(2)若直线l:y=kx+√2与C1和C2都恒有两个不同交点,且l与C
题目详情
已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.
(1)求双曲线C2的方程
(2)若直线l:y=kx+√2与C1和C2都恒有两个不同交点,且l与C2的两个交点A,B还满足向量OA*向量OB<6(O为原点),求k的取值范围
(1)求双曲线C2的方程
(2)若直线l:y=kx+√2与C1和C2都恒有两个不同交点,且l与C2的两个交点A,B还满足向量OA*向量OB<6(O为原点),求k的取值范围
▼优质解答
答案和解析
C1的方程为x^2/4+y^2=1,左右顶点(-2,0)(2,0),焦点(根号3,0)(-根号3,0)
设双曲线C2的方程x^2/a^2-y^2/b^2=1
a^2+b^2=4
a^2=3
b^2=1
因此双曲线C2的方程为x^2/3-y^2/=1
(2)
将y=kx+ √2代入 x^2/4+y2=1得(1+4k^2)x^2+8 kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1= -16(1+4k^2)=16(4k^2-1)>0,
即k^2>1/4 ①
将y=kx+√2 代入x^2/3 -y2=1得(1-3k^2)x^2-6 kx-9=0.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得即k^2≠ 1/3且k^2<1.②
设A(xA,yA)B(xB,yB),则xA+xB=6√2k/(1-k^2) ,xA•xB= -9/(1-3k^2)
由 向量OA*向量OB<6 得xAxB+yAyB<6,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ √2)(kxB+√2 )
=(k^2+1)xAxB+ √2(xA+xB)+2
=(k2+1)^2( -9/(1-3k^2)• +√2 k•(6√2k/(1-k^2) ) +2
= (3k^2+7)/(3k^2-1)
于是 (3k^2+7)/(3k^2-1)<6,解此不等式得k^2>13/15 或k^2<1/3 .③
由①、②、③得 1/4<k^2<1/3或13/15 <k^2<1.
真是道好题,花了我10分钟啊
设双曲线C2的方程x^2/a^2-y^2/b^2=1
a^2+b^2=4
a^2=3
b^2=1
因此双曲线C2的方程为x^2/3-y^2/=1
(2)
将y=kx+ √2代入 x^2/4+y2=1得(1+4k^2)x^2+8 kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1= -16(1+4k^2)=16(4k^2-1)>0,
即k^2>1/4 ①
将y=kx+√2 代入x^2/3 -y2=1得(1-3k^2)x^2-6 kx-9=0.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得即k^2≠ 1/3且k^2<1.②
设A(xA,yA)B(xB,yB),则xA+xB=6√2k/(1-k^2) ,xA•xB= -9/(1-3k^2)
由 向量OA*向量OB<6 得xAxB+yAyB<6,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ √2)(kxB+√2 )
=(k^2+1)xAxB+ √2(xA+xB)+2
=(k2+1)^2( -9/(1-3k^2)• +√2 k•(6√2k/(1-k^2) ) +2
= (3k^2+7)/(3k^2-1)
于是 (3k^2+7)/(3k^2-1)<6,解此不等式得k^2>13/15 或k^2<1/3 .③
由①、②、③得 1/4<k^2<1/3或13/15 <k^2<1.
真是道好题,花了我10分钟啊
看了 已知椭圆C1的方程为x^2/...的网友还看了以下:
已知双曲线的两条渐近线均和圆C:(x-1)^2+y^2=1/5相切,且双曲线右焦点为抛物线y=4倍 2020-04-08 …
双曲线4分之x平方-5分之y平方=1右焦点为f,右准线为l,若双曲线上点p到l距离为3分之5,求p 2020-04-27 …
已知双曲线x^2/a2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个顶点分别为A,B1,已知双曲 2020-05-17 …
双曲线与直线相交问题y=kx+1与双曲线:2x平方-y平方=1的右支交于不同的两点A,B.是否有K 2020-06-15 …
只说思路,过双曲线右焦点的直线交双曲线所得弦长是2a,若这样的直线有且尽有两条,则离心虑是多少,只 2020-07-04 …
过双曲线右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时 2020-08-02 …
直线与双曲线的右支交于不同两点,(1)求实数的取值范围;(2)是否存在实数,使得以线段为直径的圆经过 2020-12-31 …
已知点F为双曲线x216−y29=1右焦点,M是双曲线右支上的一动点,A(5,4),则4MF-5MA 2020-12-31 …
若P是双曲线x²/3-y²=1右支上一个动点,F是双曲线右焦点,已知A(3,1),求lPAl+根号3 2020-12-31 …
1.直线l过双曲线x²/a²-y²/b²=1的右焦点k=2,若l与双曲线的两个交点分别在左右两支,求 2020-12-31 …