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在矩形ABCD中,延长BC至点E,使BE=BD,F为DE中点,连结AF,CF,BD与AC相交于点O.求证：AF垂直CF
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在矩形ABCD中,延长BC至点E,使BE=BD,F为DE中点,连结AF,CF,BD与AC相交于点O.求证：AF垂直CF
▼优质解答
答案和解析
证明：延长CF与边AD的延长线交于点G
因为 在直角三角形DCE中,F为斜边DE的中点
所以 CF=1/2DE=DF=FE(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
又角CFE=角DFG(对顶角相等) 角GDF=角FEC（直线DG平行于直线CE)
所以 三角形CFE全等于三角形GFD
所以 DG=CE
所以 由AG=BE=BD=AC得三角形ACG为等腰三角形 AC=AG
因为在直角三角形DGC中,CG为斜边,DF=CF
所以F为CG中点
所以AF为CG边上中线 AF垂直于CG 得证
因为 在直角三角形DCE中,F为斜边DE的中点
所以 CF=1/2DE=DF=FE(直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
又角CFE=角DFG(对顶角相等) 角GDF=角FEC（直线DG平行于直线CE)
所以 三角形CFE全等于三角形GFD
所以 DG=CE
所以 由AG=BE=BD=AC得三角形ACG为等腰三角形 AC=AG
因为在直角三角形DGC中,CG为斜边,DF=CF
所以F为CG中点
所以AF为CG边上中线 AF垂直于CG 得证
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