非零向量a.b满足a的模等于b的模等于a+b的模,求a与(a-b)的夹角

Question

非零向量a.b 满足a的模等于b的模等于a+b的模,求a与(a-b)的夹角

Answer 1

从图上看,最好做.
向量a,b,a+b,a-b,构成以|a|、|b|为邻边,以|a+b|,|a-b|为对角线的平行四边形.
由于 |a|=|b|=|a+b|,从而这个平行四边形是以锐角为60°的菱形,画图知,
a与(a-b)的夹角为30°
另：代数解法(向量的平方等于它的模的平方).
|a+b|=|a|,
(a+b) ²=a²
a²+2ab+b²=a²,
2ab=-a²,
所以 |a-b|²=a²-2ab+b²=3a²
从而 |a-b|=√3|a|
又 a(a-b)=a²-ab=a²+a²/2=3a²/2=3|a|²/2
从而 cos=a(a-b)/(|a||a-b|)=(3|a|²/2)/(√3|a|²)=√3/2
即a与(a-b)的夹角为30°