（2014•许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2-cosC）=sin2C2+12，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形

Question

（2014•许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2-cosC）=sin²(C)/(2)+(1)/(2)，则△ABC为（　　）

A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形

Answer 1

将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A与B都为△ABC的内角，
∴A-B=0，即A=B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）=(1)/(2)（1-cosC）+(1)/(2)=1-(1)/(2)cosC，
-(1)/(2)[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-(1)/(2)cosC，
∴-(1)/(2)（-cosC-1）（2-cosC）=1-(1)/(2)cosC，
即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，
整理得：cos²C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，
∴cosC=0或cosC=2（舍去），
∴C=90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．