（2014•天津三模）如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求证：平面PAC⊥平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．

Question

（2014•天津三模）如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°
（1）求证：EC∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面EBC；
（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：因为BE∥PA，
BE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD，
所以平面PAD∥平面EBC，
因为EC⊂平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分）
（2）证明：因为AB=2，BC=1，∠CBA=60°，
由余弦定理得，AC=√(3)，
所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，
所以AC⊥BC，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
则有AC⊥平面EBC，AC⊂平面PAC
所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分）
（3）作CH⊥AB于H，连结PH，
又因为CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE，
所以∠HPC即为线面角，
∴sin∠HPC＝(HC)/(PC)＝(√(21))/(14)．…（13分）