（2014•长春三模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求CEEB；（2）平面A1MC1将三棱柱ABC-A1B1C1分

Question

（2014•长春三模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A₁MC₁，求(CE)/(EB)；
（2）平面A₁MC₁将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．

Answer 1

（1）取BC中点为N，连结MN，C₁N，…（1分）
∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N
又DE⊂平面BCC₁B₁，且DE∥平面A₁MC₁
∴DE∥C₁N
∵D为CC₁的中点，
∴E是CN的中点，…（5分）
∴(CE)/(EB)＝(1)/(3)．                                                 …（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
又AC⊥AB，则AC⊥平面ABB₁A₁
设AB=2AA₁=2，又三角形A₁MC₁是等腰三角形，所以A1M＝A1C1＝√(2)．
如图，将几何体AA₁M-CC₁N补成三棱柱AA₁M-CC₁F
∴几何体AA₁M-CC₁N的体积为：V1＝(1)/(2)•AM•AA1•AC−(1)/(3)•(1)/(2)•CF•CC1•NF＝(1)/(2)×1×1×√(2)−(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×(√(2))/(2)＝(5√(2))/(12)…（9分）
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积为：V＝(1)/(2)×

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