在三角形ABC中,AB等于2倍根号5,AC等于4,BC等于2以AB为边向三角形ABC做三角形ABD使三角形ABD以AB为腰的直角三角形求AD长,（要图）

Question

在三角形ABC中,AB等于2倍根号5,AC等于4,BC等于2 以AB为边向三角形ABC做三角形ABD
使三角形ABD以AB为腰的直角三角形求AD长,（要图）

Answer 1

∵AC=4,BC=2,AB=2倍根号5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1）,过点D作DE⊥CB,垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义）,
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余）,
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）,
∴AB=BD,∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义）,
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义）,
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等）,
在△ACB与△BED中,
∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD（已证）,
∴△ACB≌△BED（AAS）,
∴BE=AC=4,DE=CB=2（全等三角形对应边相等）,
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2√10；
如图（2）,过点D作DE⊥CA,垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD,∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中,
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4,AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2√13；
如图（3）,过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F．
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠EBD+∠DAF=90°,
∵∠EBD+∠BDE=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DBE=∠ADF,
∵∠BED=∠AFD=90°,DB=AD,
∴△AFD≌△DEB,易求CD=3√2．