已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是．

Question

已知等腰三角形腰上的中线长为√(3)，则该三角形的面积的最大值是 ___ ．

Answer 1

根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=(a2+4a2-3)/(2×a×2a)=(5a2-3)/(4a2)，解得a²=(3)/(5-4cosA)，
设△ADC的面积为S，
则S=(1)/(2)a•2a•sinA=a²sinA=(3sinA)/(5-4cosA)  ①，
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′=(3cosA(5-4cosA)-12sin2A)/((5-4cosA)2)=(15cosA-12)/((5-4cosA)2)，令S′=0，解得cosA=(4)/(5)，
当cosA＞(4)/(5)时，S′＞0，S单调递增；当cosA＜(4)/(5)时，S′＜0，S单调递减，
所以S在cosA=(4)/(5)处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=(3)/(5)，
所以S的最大值为(3×(3)/(5))/(5-4×(4)/(5))=1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2．
法二：①式变形为5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=√(9+16S2)sin（A+θ），其中tanθ=(4S)/(3)
故有5S≤√(9+16S2)，
解得S≤1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2
故答案为：2．