在某海滨城市O附近的海面上正在形成台风.据气象部门检测,目前台风中心位于城市0的南偏东90度－Φ（Φ＝arccos十分之根号二）方向300km的海面P处,并以20km/h的速度想北偏西45度方向移动.如果

Question

在某海滨城市O附近的海面上正在形成台风.据气象部门检测,目前台风中心位于城市0的南偏东90度－Φ（Φ＝arccos十分之根号二）方向300km的海面P处,并以20km/h的速度想北偏西45度方向移动.如果台风侵袭的范围为圆形区域.目前圆形区域的半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

Answer 1

在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南θ（cosθ=)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45?莓方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
解法一：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km).
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
OQ10t+60
由余弦定理知
OQ2=PQ2+PO2-2·PQ·POcos∠OPQ.
由于 PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45)
=cos θcos45+sin θsin45
=×+×
=,
故 OQ2=（20t)2+3002-2×20t×300×
=202t2-9600t+3002.
因此 202t2-9600t+3002 (10t+60)2,
即 t2-36t+2880,
解得 12 24.
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二：如图建立坐标系：以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻t(h)台风中心p（x,y)的坐标为
=300×-20×t,=-300×+20×t
此时台风侵袭的区域是
（x-)2+(y-)2?荛r(t)2,
其中r(t)=10t+60.
若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有
（0－)2+（0－)2 (10t+60)2,
即（300×-20×t）2+(-300×+20×t)2 (10t+60)2,
即 t2-36t+2880,
解得 12t24.
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.