设ab∈R求证a∧2+b∧2+ab+1＞a+b,如果行的话鄙人感激不尽

Question

设a b ∈R 求证 a∧2 + b∧2 + ab+1 ＞a+b
,如果行的话 鄙人感激不尽

Answer 1

2(a^2+b^2+ab+1)-2(a+b)
=(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(a^2+2ab+b^2)
=(a-1)^2+(b-1)^2+(a+b)^2>=0
若要取等号
则a-1=0,b-1=0,a+b=0
a=1,b=1
a+b=2
矛盾
所以等号取不到
所以2(a^2+b^2+ab+1)-2(a+b)>0
2(a^2+b^2+ab+1)>2(a+b)
a^2+b^2+ab+1>a+b