如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,2014-06-14知******|初中数学如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,且AH=2,连接CF,!(1

Question

如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,
2014-06-14 知******| 初中数学
如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,且AH=2,连接CF,!
(1)当DG=2时,求证：菱形EFGH为正方形;
(2)设DG=x,试用含x的代表式表示△FCG的面积;

Answer 1

（1）∵正方形ABCD中,AH=2,
∴DH=4,
∵DG=2,
∴HG=2
5
,即菱形EFGH的边长为2
5
．
在△AHE和△DGH中,
∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG=2
5
,
∴△AHE≌△DGH（HL）,
∴∠AHE=∠DGH,
∵∠DGH+∠DHG=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°,
∴∠GHE=90°,即菱形EFGH是正方形,
同理可以证明△DGH≌△CFG,
∴∠FCG=90°,即点F在BC边上,同时可得CF=2,
从而S△FCG=
1
2
×4×2=4．（2分）


（2）作FM⊥DC,M为垂足,连接GE,
∵AB∥CD,
∴∠AEG=∠MGE,
∵HE∥GF,
∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中,


∠A=∠M
∠AEH=∠FGM
HE=FG




∴△AHE≌△MFG（AAS）,
∴FM=HA=2,
即无论菱形EFGH如何变化,点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S△FCG=
1
2
×2×（6-x）=6-x．（6分）