证明：数集S在实数集R中稠密当且仅当每一个数x都是S中的序列的极限.

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这个就是把定义换一种方式叙述而已.
如果S在R中稠密,那么S的闭包就是R(因为R本身是闭集),任取实数x,若x属于S,那么它是常数列{x,x,...}的极限,若x不属于S,那么它是S的一个聚点,即存在S中的序列收敛到x.
反过来,如果每个实数都是S中序列的极限,那么R就包含于S的闭包,又S是R的子集,必有S的闭包包含于R,于是R就是S的闭包,即S在R中稠密.

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