如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB、AC上一点,切BE=BF,BP⊥CE,垂足为P.求证：PD⊥PF.

Question

如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB、AC上一点,切BE=BF,BP⊥CE,垂足为P.求证：PD⊥PF.

Answer 1

正方形ABCD中,∵BP⊥CE,∴∠PBF=∠PEB=90°-∠PBE；
∵AB∥DC,∴∠PEB=∠PCD,则∠PCD=∠PBF,记这个角度为θ,
Rt⊿BPC中,PC/PB=tanθ,
Rt⊿EBC中,BC/BE=tanθ,式中BC=CD,BE=BF,∴CD/BF=tanθ=PC/PB,
那么⊿PCD∽⊿PBF（夹等角的两组对应边成比例）,得∠CPD=∠BPF,
∵∠BPC=∠BPF+∠FPC=90°,∴∠FPD=∠CPD+∠FPC=90°,就是PD⊥PF..证毕.
注：如果未学三角函数,可由⊿BPC∽⊿EBC径直得到PC/PB=BC/BE=CD/BF的关系.